RStan でベイズ逆問題もどき

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Clik here to view., Image may be NSFW.
Clik here to view.という系列を考える。Aは定数。

（この系列になんらかの解釈があればおもしろかったんだけど思いつかなかった。）

いま、観測されるのは Image may be NSFW.
Clik here to view.のみである。

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Clik here to view.

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Clik here to view.が既知ならば Aを推定するのはかんたん。Aが既知ならば Image may be NSFW.
Clik here to view.を推定するのはかんたん。

しかし、いま観測されるのは Image may be NSFW.
Clik here to view.のみ。

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Clik here to view.が Image may be NSFW.
Clik here to view.になる組み合わせは無数にあり、Image may be NSFW.
Clik here to view.と Aを同時に推定するのは困難に思える。

しかし、以下の仮定を置くことで、Image may be NSFW.
Clik here to view.と Aを推定することができる。

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  Clik here to view.は区間 [0,1] の一様分布に従う。
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  Clik here to view.は平均 0 , 標準偏差σ の正規分布に従う。

推定に用いた Stan のコードはこう。

#inverse.stan
data{
	int<lower=0> N;
	real <lower=0>y[N];}
parameters{
	real <lower=0,upper=1> p[N];
	real <lower=0>sigma;
	real <lower=0>A;}
transformed parameters  {
    real mu1[N];for(i in1:N){
    	mu1[i]<- p[i]*A;}}
model{for(i in1:N){
 	y[i]~ normal(mu1[i], sigma);}}

R のコードはこう。

##データ生成##
set.seed(123)
p <- runif(20)
A <-100
y <- rnorm(20,p*A)
plot(y,type="b")
dat4stan <-list(N=20,y=y)############
model1 <- stan_model("inverse.stan")
fit <- sampling(model1, data=dat4stan)
traceplot(fit,pars=c("A","sigma"))
ex<-extract(fit)##図示##
plot(y,type="b")
lines(apply(ex$mu,2,mean),col="orange")
plot(p,apply(ex$p,2,mean),xlim=c(0,1),ylim=c(0,1),ylab="estimates")
abline(0,1,lty=2)

Aと σについて、MCMCサンプリングのトレースラインを描いてみる。収束してくれたようだ。

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Clik here to view.

次に、原系列（黒）と推定値（オレンジ）を重ねてみる。

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Clik here to view.

最後に、横軸に乱数で生成した真の Image may be NSFW.
Clik here to view.、縦軸に Image may be NSFW.
Clik here to view.の推定値をとりプロットした。

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Clik here to view.

ほぼ一直線上に並んでいることから、Image may be NSFW.
Clik here to view.の推定値の妥当さが分かる。

しかしなんでこれが求まってしまうんだろう……？