観測期間にギャップのあるワイブル過程のパラメータの最尤推定

最尤推定量

ワイブル過程のパラメータの最尤推定 - 廿TTの続きです.

Crow (1988) に出てくる例題をやります.

を区間 でのイベントの発生時刻, を区間 でのイベントの発生時刻として,非定常ポアソン過程を区間 と （）で観測した場合の尤度関数は以下のようになります.

対数をとり,

ワイブル過程の強度関数 を代入して,

これを微分して 0 と置いて解きます. 閉じた形では推定量が求まりません.

βについては,

mについては,

と を更新式としてイテレーションを回す必要があります.

R による計算例

使用するデータはこれです.

ex2 <- c(.5,.6,10.7,15.6,18.3,19.2,19.5,25.3,39.2,39.4,43.2,44.8,47.4,65.7,88.1,97.2,104.9,105.1,120.8,195.6,217.1,219.0,257.5,260.4,281.3,283.7,289.8,306.6,328.6,357.0,371.7,374.7,393.2,403.2,466.5,500.9,501.5,518.4,520.7,522.7,524.6,526.9,527.8,533.6,536.5,542.4,543.2,545.0,547.4,554.0,554.1,554.2,554.8,556.5,570.6,571.4,574.9,576.8,578.8,583.4,584.9,590.6,596.1,599.1,600.1,602.5,613.9,616.0,616.2,617.1,621.4,622.6,624.7,628.8,642.4,684.8,731.9,735.1,753.6,792.5,803.7,805.4,832.5,836.2,873.2,975.1)

(600,625) の期間は欠測しているとします.

S1=500; S2=625; t_max <-1000
x <-ex2[ex2<=S1]
y <-ex2[ex2>=S2]

estimator2 <-function(x,y,beta0=1,m0=1,maxit=100){
  maxit <-1000
  n <- length(x)+length(y)for(i in1:maxit){
    mhat <- n/(beta0*((S1^m0)*log(S1)+(t_max^m0)*log(t_max)-(S2^m0)*log(S2))-(sum(log(x))+sum(log(y))))
    betahat <- n/(S1^mhat+t_max^mhat-S2^mhat)if(abs(mhat-m0)<1e-6& abs(betahat-beta0)<1e-6)break
    m0<-mhat
    beta0<-betahat
  }
  c("beta"=betahat,"m"=mhat)}

論文に書いてある推定値は .

> estimator2(x,y)
     beta         m 
1.10815540.5592317

計算結果が一致しました.

完全データを使って求めた場合とだいぶ値違うけどいいのかこれ.

> estimator <-function(dat){+   n <-length(dat)+   mhat <- n/sum(log(t_max/dat))+   betahat <- n/(t_max^mhat)+   c("beta"=betahat,"m"=mhat)+}> estimator(ex2)
     beta         m 
0.45344040.7593261

青い線が完全データから求めた場合, 赤い線が欠測データから求めた場合, 黒い点線が欠測期間.

fit_comp <- estimator(ex2)
fit_gap <-estimator2(x,y)
Lambda <-function(t,beta,m)beta*(t^m)
plot(ex2,1:length(ex2),xlab="time",ylab="cumulative number of events")
curve(Lambda(x,fit_comp[1],fit_comp[2]),add=TRUE,col="royalblue",lwd=2)
curve(Lambda(x,fit_gap[1],fit_gap[2]),add=TRUE,col="tomato",lwd=2)
abline(v=S1,lty=2)
abline(v=S2,lty=2)

おまけ

Example 1 のデータもタイプしてしまったので置いておきます.

ex1 <- c(.5,.6,10.7,15.6,18.3,19.2,19.5,25.3,39.2,39.4,43.2,44.8,47.4,65.7,88.1,97.2,104.9,105.1,120.8,195.6,217.1,219.0,257.5,260.4,281.3,283.7,289.8,306.6,328.6,357.0,371.7,374.1,393.2,403.2,466.5,520.7,556.5,571.4,621.4,628.8,642.4,684.8,731.9,735.1,753.6,792.5,803.7,805.4,832.5,836.2,873.2,975.1)

論文に書いてある推定値は .

参考文献

• IEEE Xplore Abstract - Reliability growth estimation with missing data. II
• Crow-AMSAA (NHPP) - ReliaWiki