岩波データサイエンス Vol.1 の年輪の例題を dlm でやる

DLM

ノイズが正規分布し、変数間の関係が線形の状態空間モデル動的線形モデル（Dynamic Linear Model; DLM）と呼ばれる。

動的線形モデルは以下の式で表現できる。

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Clik here to view. $y_t =F_t \theta_t +v_t, v_t \sim N(0,Vt)$
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Clik here to view. $\theta _t=G_t \theta_{t−1}+w_t, w_t\sim N(0,Wt)$

推定問題

現時刻を kとするとき、推定問題はつぎの三つに分類できる。

予測（prediction）：時刻（k-n）までのデータに基づいて現在の値 Image may be NSFW.
Clik here to view.を推定する。
フィルタリング（filtering）：時刻 kまでのデータに基づいて現在の値 Image may be NSFW.
Clik here to view.を推定する。
平滑（smoothing）：時刻（k+n）までのデータに基づいて現在の値 Image may be NSFW.
Clik here to view.を推定する。

ローカルレベルモデル

ローカルレベルモデルは最初の式で

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Clik here to view. $\theta_t=\alpha_t$ 、Image may be NSFW.
Clik here to view. F_t=1 、Image may be NSFW.
Clik here to view. G_t=1 、Image may be NSFW.
Clik here to view. $v_t = \varepsilon _t$ 、Image may be NSFW.
Clik here to view. $V_t=\sigma^{2}_{\varepsilon}$ 、Image may be NSFW.
Clik here to view. $w_t=\eta_t$ 、Image may be NSFW.
Clik here to view. $W_t=\sigma^2_{\eta}$

の場合に相当する。

予測、フィルタリング、平滑を実行する R のコードは以下のようになる。

X <-1961:1990
Y <- c(4.71,7.70,7.97,8.35,5.70,7.33,3.10,4.98,3.75,3.35,1.84,3.28,2.77,2.72,2.54,3.23,2.45,1.90,2.56,2.12,1.78,3.18,2.64,1.86,1.69,0.81,1.02,1.40,1.31,1.57)

N <- length(Y)
n <- N-6
Y2 <- Y[1:n]
X2 <- X[1:n]
X3 <- X[(n+1):N]

build1 <-function(theta){
  dlm(FF=matrix(1),
      V=matrix(exp(theta[1])),
      GG=matrix(1),
      W=matrix(exp(theta[2])),
      m0 = c(0),
      C0 =matrix(1e+7))}

fit1 <- dlmMLE(Y2, parm=c(log(var(Y2)),1), build1)
model1 <- build1(fit1$par)
Filt1 <- dlmFilter(Y2,model1)
Smooth1 <-dlmSmooth(Filt1)
Fore1 <- dlmForecast(Filt1,6) 
plot(X,Y,type="b",ylim=c(0,9))
lines(X2,dropFirst(Filt1$m),col="red",lwd=2)
lines(X2,dropFirst(Smooth1$s),col="blue",lwd=2)
lines(X3,Fore1$f,col="orange",lwd=2)
legend("topright",c("observed","filtered","smoothed","forecasted"),
       col=c("black","red","blue","orange"),lty=1,lwd=2)

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二階のトレンドモデル

二階のトレンドモデルは最初の式で、

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Clik here to view. $\theta_t=\begin{pmatrix}\alpha_t\\ \alpha_{t-1}\end{pmatrix}$ 、Image may be NSFW.
Clik here to view. $F_t=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}$ 、Image may be NSFW.
Clik here to view. $G_t=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1&0\end{pmatrix}$ 、

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Clik here to view. $v_t = \varepsilon _t$ 、Image may be NSFW.
Clik here to view. $V_t=\sigma^{2}_{\varepsilon}$ 、Image may be NSFW.
Clik here to view. $w_t=\begin{pmatrix}\eta_t\\0 \end{pmatrix}$ 、Image may be NSFW.
Clik here to view. $W_t=\begin{pmatrix}\sigma^2_{\eta}&0\\0&0\end{pmatrix}$

の場合に相当する。

予測、フィルタリング、平滑を実行する R のコードは以下のようになる。

build2 <-function(theta){
  dlm(FF=matrix(c(1,0),1,2),
      V=matrix(exp(theta[1])),
      GG=matrix(c(2,-1,1,0),2,2,byrow =TRUE),
      W=matrix(c(exp(theta[2]),0,0,0),2,2,byrow =TRUE),
      m0 = c(0,0),
      C0 =matrix(c(1e+7,0,0,0),2,2,byrow =TRUE))}

fit2 <- dlmMLE(Y2, parm=c(log(var(Y2)),1), build2)

model2 <- build2(fit2$par)
Filt2 <- dlmFilter(Y2,model2)
Smooth2 <-dlmSmooth(Filt2)
Fore3 <- dlmForecast(Filt2,6) 
plot(X,Y,type="b",ylim=c(0,9))
lines(X2,dropFirst(Filt2$m[,1]),col="red",lwd=2)
lines(X2,dropFirst(Smooth2$s[,1]),col="blue",lwd=2)
lines(X3,Fore3$f[,1],col="orange",lwd=2)
legend("topright",c("observed","filtered","smoothed","forecasted"),
       col=c("black","red","blue","orange"),lty=1,lwd=2)