問題設定
n = 20人の患者さんが繰り返し訪問する病院の窓口を T = 100時間観察した。
患者 iはそれぞれある時期 に達すると病院への訪問をやめる（理由は不明：病気が治ったか、遠くに引っ越したか、通院に飽きたか、死んだか）。
この訪問がレート λ（全患者共通のパラメータ）のポアソン過程であるとして、各患者さんが訪問をやめた時間 を求めたい。
ただし、各患者さんの訪問回数 は記録されているが、訪問間隔は記録されていない。
シミュレーション
まず乱数を使って擬似的なデータセットを生成する。
ポアソン過程なので到着間隔は指数分布に従う。ここでは λ = 1とした。
停止時刻 は一様乱数で決めた。
#Rのコード n <-20 maxT <-100 t1list <-vector("list",n)for(i in1:20){ tmp <- cumsum(rexp(100))#多めに出しとく t1list[[i]]<- tmp[tmp<=maxT]} maxt1 <- sapply(t1list,max) t2 <- runif(n,0,maxt1) x <- mapply(function(x,y){sum(x<y)},t1list,t2) dat4stan<-list(x=x,n=n, maxT = maxT)
生成されたデータセットはこんな感じ。
> dat4stan $x [1]1194766891862727539232385124773236925$n [1]20$maxT [1]100
推定
λと を推定するための Stan コードはこうした。
#"poisson.stan" data { int<lower=0> n; real<lower=0> maxT; real<lower=0> x[n];} parameters { real<lower=0> lambda; real<lower=0,upper=maxT>T[n];} model {for(i in1:n){ increment_log_prob(x[i]*log(lambda*T[i])-lambda*T[i]);}}
ポアソン過程の対数尤度 を increment_log_prob の中に書いた。
#R のコードlibrary(rstan) pois <- stan_model(file="poisson.stan") fit <- sampling(pois, data=dat4stan)
推定結果
MCMCステップのトレースプロット。
traceplot(fit,pars="lambda") ex <- extract(fit)
λは収束してくれたっぽい。
λのヒストグラムもかいてみる。
hist(ex$lambda) estlambda <- mean(ex$lambda) abline(v=estlambda,col="tomato",lwd=2) abline(v=1,col="royalblue",lwd=2)
赤い線が推定値（EAP）、青い線が真値。けっこうバイアスがありそう。
> estlambda [1]0.9839703
次に の真値と推定値を比較する。
#棒グラフ estT <-apply(ex$T,2,mean) barplot(rbind(t2,estT), xlab="t", col = c("orange","cornflowerblue"), legend.text = c("true","estimates"), args.legend =list(x ="topright"), ylim=c(0,100), beside =TRUE)
plot(t2,estT,xlim=c(0,100),ylim=c(0,100)) abline(0,1,lwd=1.5,lty=2)
縦軸を推定値、横軸を真値にしたプロット。
もし完全に一致していたら斜めの線上にぴたっと並ぶ。
まあよく求まっているんじゃないかと思う。
CI <- apply(ex$T,2,function(x)quantile(x,c(0.025,0.975)))library(ggplot2)library(pipeR)library(tidyr) ggplot(data.frame(id=1:n,t2=t2),aes(x=id,y=t2))+ geom_point(size=3,colour="royalblue")+ geom_point(size=3,aes(x=id,y=estT),colour="tomato")+ geom_errorbar(aes(x=1:n,ymin=CI[2,],ymax=CI[1,]),colour="tomato")+ theme_grey(20)
95%信用区間のエラーバー。青い点が真値、赤が推定値。
参考文献と関連エントリ
基礎からのベイズ統計学: ハミルトニアンモンテカルロ法による実践的入門
- 作者:豊田秀樹
- 出版社/メーカー:朝倉書店
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